Al contrario di quello che il senso comune ci potrebbe portare a pensare, in moltissime raccolte di dati, relative agli ambiti più vari ambiti più vari (dal mercato finanziario ai cataloghi sismici fino alla popolazione dei comuni italiani), non si osserva una distribuzione uniforme delle cifre da 1 a 9 nella prima cifra dei numeri, bensì una netta asimmetria in favore delle cifre più piccole. Tale fenomeno è descritto dalla legge di Benford.

 

Prima cifra Comuni %
1 2547 31,0
2 1391 16,9
3 1057 12,9
4 791 9,6
5 632 7,7
6 544 6,6
7 484 5,9
8 406 4,9
9 365 S,4
Totale 8217 100

 

Fu, infatti, proprio Benford che nel 1938, dopo aver raccolto in tabelle dati sui più svariati fenomeni naturali, dedusse la legge che ora prende il suo nome. Essa ha la seguente forma: P(n) = log[(n+1)/n]. Dove P(n) indica la probabilità che la prima cifra sia il numero n.

Ad esempio, se osserviamo il valore delle azioni nella borsa di Zurigo del 12 aprile 2020, ci rendiamo conto che il numero 1 appare come prima cifra circa il 32% delle volte; le occorrenze degli altri numeri decrescono seguendo la legge di Benford fino a far registrare una frequenza pari al 4.1% per il numero 9. Questo andamento, come mostrato in figura, si registra anche se andiamo a cambiare la valuta in cui sono espressi i prezzi delle azioni (rispettivamente Franchi Svizzeri, Real Brasiliani e Dong Vietnamiti); tale proprietà viene detta “invarianza di scala” e deriva dalla presenza di una distribuzione di probabilità a potenza sottostante.

 

La formula riportata in precedenza è, in realtà, una forma particolare della legge di Benford che si ottiene quando la distribuzione di probabilità è una legge a potenza con esponente pari a 1. Tale forma è molto comune nei fenomeni naturali: la motivazione risiede nel fatto che questa può essere ottenuta tramite un semplice processo moltiplicativo.

È anche interessante notare lo stretto rapporto sussistente tra la legge di Benford e quella di Zipf. Partendo, infatti, da dei numeri che seguono la prima è possibile ritrovare la seconda, ordinandoli dal più grande al più piccoli.

In conclusione, quindi, la legge di Benford è una legge che descrive molti processi aleatori osservabili in natura, e non solo; essa da, infatti, una soddisfacente interpretazione sul perché i numeri più piccoli abbiano un’occorrenza maggiore in molte raccolte di dati. È di notevole importanza anche il legame sussistente tra questa e la legge di Zipf.