Sistemi complessi, anche molto diversi fra loro, come le reti genetiche, i social networks o il World Wide Web, presentano una caratteristica comune: la presenza di una rete a invarianza di scala. Ad esempio, avendo in mente un social network, la rete è costituita dagli utenti, che ne formano i nodi, e dalle relazioni di amicizia, cioè i links. La caratteristica principale delle reti a invarianza di scala è la presenza di nodi con un numero di connessioni incredibilmente alto rispetto alla media: pensiamo ad esempio agli influencer. L’incredibile ubiquità di queste strutture è spiegata tramite il modello di Barabàsis-Albert.

Tale modello presenta delle sostanziali differenze rispetto ai modelli basati su un random network. Esso, infatti, si fonda su due importanti caratteristiche: “growth” and “preferential attachment”. Con “growth” si intende la continua crescita dei sistemi analizzati, ad esempio la continua espansione del web, la cui rete si arricchisce istantaneamente di nuovi nodi. Con “preferential attachment”, invece, si caratterizza la tendenza dei nuovi nodi di collegarsi a nodi che hanno già un alto numero di connessioni; se prendiamo come esempio la rete di collaborazione professionale degli attori del cinema, i nuovi attori hanno maggiore possibilità di lavorare con i colleghi impegnati in un numero elevato di set cinematografici. Discorso analogo vale per i social networks, in cui i nuovi utenti tendono a collegarsi con profili già molto affermati, gli influencers.

Cerchiamo ora di capire come costruire il modello di Barabàsis-Albert. Iniziamo con m0 nodi, arbitrariamente legati fra di loro, e ad ogni passo temporale aggiungiamo un nuovo nodo che crea m (<m0) legami con i nodi esistenti. La probabilità P(i) che il nuovo nodo si connetta all’i-esimo nodo preesistente è  data da: , dove con ki si intende il “grado” del nodo i-esimo. La tendenza dei nuovi nodi a legarsi a nodi di grado più alto, cioè con i nodi che già presentato tante connessioni, va a creare il cosiddetto “rich-gets-richer phenomenon”.

Le applicazioni di questo modello sono moltissime: oltre ai social networks, tornando all’esempio del World Wide Web, i nodi sono costituiti dalle pagine web, mentre i link fra i vari nodi sono rappresentati dagli hyperlinks (URLs). Anche la diffusione delle malattie sessualmente trasmissibili segue il modello illustrato.