La geometria frattale (dal latino “fractus”, frammentato), branca della matematica fondata dallo scienziato polacco Mandelbrot, si occupa di studiare quelle strutture caratterizzate da un’invarianza di scala, ovvero che si ripetono identiche a sé stesse a varie scale.

M.V. Berry descrisse con queste parole la nuova geometria: “La geometria frattale è uno di quei concetti che a prima vista ispirano scetticismo, ma in un secondo momento diventano così naturali da domandarsi perché siano stati sviluppati solo così recentemente”.

Il motivo di tale “ritardo” risiede nel fatto che questa nuova formulazione matematica risulta essere lontana dai canoni matematici classici, i quali si basano sui concetti di regolarità e continuità e sulla possibilità di approssimare localmente una curva con la sua tangente nel punto, al contrario delle strutture frattali che si ripetono identiche a sé stesse ad ogni scala e per le quali non è possibile definire la derivata.

Un tipico esempio di applicazione della geometria frattale è lo studio della lunghezza delle coste. Se si tenta, infatti, di misurare la lunghezza di una costa particolarmente frastagliata, ci si rende conto che via via che si aumenta la precisione di misurazione, compaiono strutture simili a quelle incontrate a scale inferiori e determinarne l’effettiva lunghezza diventa un compito niente affatto banale.  Mano a mano che la precisione aumenta, la lunghezza cresce senza mai convergere ad un valore.

Le curve frattali sono caratterizzate da un parametro D, detta dimensione frattale, che possiede molte delle proprietà tipiche di una dimensione ma che assume valori frazionari compresi fra 1 (valore tipico delle curve) e 2 (valore tipico delle figure piane). In particolare, per la costa inglese si ha D =1.25.

Le applicazioni della geometria frattale si estendono ai più svariati campi di ricerca, ad esempio allo studio dalla fisiologia (in particolare nello studio della struttura di arterie e bronchi) e ai fenomeni di breackdown dielettrico. Infatti le scariche elettriche di questo tipo, come ad esempio i fulmini, non viaggiano seguendo il percorso rettilineo piu` breve, ma formano al contrario complesse ramificazioni frattali. Tale comportamento e` spiegato attraverso il  Dielecric Breackdown Model.